2. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

 Durante nuestro estudio de la Geometría Analítica, nos vamos a encontrar con un método interesante para poder calcular las coordenadas de un punto P (o sea un punto cualquiera que llamamos “P”), que está dividido por un segmento cuyas extremidades son el P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la razón dada por la siguiente relación:

Hasta este punto puede ser confuso lo explicado, pero no es necesario enredarse con la definición. Más abajo veremos la definición en una gráfica y nos daremos una mejor idea de lo que intentamos explicar, y ver cómo llevar a cabo el procedimiento para encontrar la fórmula de la división de un segmento en una razón dada, y poder resolver ejercicios sin dificultad alguna. Es necesario que para estudiar este tema se tenga idea de cómo despejar variables y conocimiento de álgebra.

Analicemos el siguiente caso, para comprender mejor:

Si sabemos que la razón está dada mediante la relación:

Vamos a proyectar las coordenadas de los puntos en los dos ejes. De la siguiente manera.

Bien, ahora tenemos las proyecciones en el eje de las abscisas “x”, con los puntos A, y sobre el eje de las ordenadas “y” para los puntos B. Estos nos servirán de referencia para poder obtener nuestra fórmula, entonces vamos a relacionar lo siguiente:

Ahora veamos las distancias dirigidas, ¿no recuerdas qué son?, puedes regresar al tema de Distancia entre Dos Puntos, si ya recuerdas que son, entonces es momento de aplicar dicho conocimiento, para relacionar lo siguiente:

Perfecto, ahora podemos sustituir estos datos en la fórmula de la razón.

Como “x” es la que estamos buscando, porque forma parte del punto del segmento, entonces procedemos a despejar. Si no recuerdas como despejar, recuerda Aprende a como despejar fórmulas.

Procedemos a despejar:

Operamos lo del primer miembro:

Acomodamos a las “x” en el primer miembro, quedando así:

Multiplicamos todo por (-1), para que se vuelvan positivos.

Factorizamos a “x” en el primer miembro.

Despejamos el monomio que está multiplicando a “x”, quedando así nada más la variable que necesitamos.

Quedando así nuestra “x” despejada totalmente, ¡Solo que aplicaremos una condición!.

nuestra razón no puede ser igual a (-1) porque esto nos haría indeterminado nuestra operación, y no está definida.

• Para obtener “y”, hacemos exactamente el mismo cálculo y procedimiento.

La misma condición respecto a el valor que no puede obtener “r”