5. ECUACIÓN DE LA RECTA EN TODAS SUS FORMAS

 Recordemos que la definición matemática de una recta es un conjunto de puntos consecutivos que están representados en la misma dirección sin curvas ni ángulos.

Así pues, para expresar analíticamente cualquier recta en el plano (en R2) se utilizan las ecuaciones de la recta, y para hallarlas únicamente se necesita un punto que pertenezca a la recta y el vector director de dicha recta. Con tan solo estos dos elementos geométricos se pueden encontrar absolutamente todas las distintas ecuaciones de la recta, que son las siguientes:

Las ecuaciones de la recta son la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua, la ecuación implícita (o general), la ecuación explícita, la ecuación punto-pendiente y la ecuación canónica (o segmentaria).

Todos los tipos de ecuaciones de la recta sirven para lo mismo: representar matemáticamente una recta. Pero cada ecuación de la recta tiene sus propiedades y, por lo tanto, dependiendo del problema es mejor usar una u otra.

Una vez hemos visto el concepto de las ecuaciones de la recta, pasamos ahora a analizar las características de cada tipo de ecuación de la recta en concreto.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA:

Si  es el vector director de la recta y P un punto que pertenece a la recta:

La fórmula de la ecuación vectorial de la recta es:

Donde:

Esta es la ecuación vectorial de la recta en el plano, es decir, cuando trabajamos con puntos y vectores de 2 coordenadas (en R2). Sin embargo, si estuviésemos haciendo cálculos en el espacio (en R3) tendríamos que añadir una componente más a la ecuación de la recta:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Las ecuaciones paramétricas de una recta se pueden obtener a partir de su ecuación vectorial:

Primero multiplicamos el parámetro t por el vector director de la recta:

Luego sumamos las coordenadas X e Y:

Y, finalmente, despejando cada variable por separado conseguimos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Dónde:

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

La ecuación continua de cualquier recta se puede deducir a partir de sus ecuaciones paramétricas:

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación paramétrica obtenemos las siguientes expresiones:

E Igualando las dos ecuaciones resultantes obtenemos la ecuación continua de la recta:

En definitiva, la ecuación continua de la recta es:

Dónde:

ECUACIÓN IMPLÍCITA O GENERAL DE LA RECTA

La fórmula de la ecuación implícita, general o cartesiana de la recta es:

Dónde:

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

La fórmula de la ecuación explícita de la recta es:

Donde:

• m es la pendiente de la recta.
• n su ordenada en el origen, es decir, la altura a la que corta el eje Y.

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA

La fórmula de la ecuación punto-pendiente de la recta es:

Donde:

ECUACIÓN CÓNICA O SEGMENTARIA DE LA RECTA

Aunque esta variante de la ecuación de la recta es menos conocida, la ecuación canónica de la recta se puede obtener a partir de los puntos de corte de la recta con los ejes cartesianos.

Sean los dos puntos de corte con los ejes de una recta determinada:

La fórmula de la ecuación canónica de la recta es:

A continuación, te dejamos una tabla en dónde podrás visualizar mejor y de manera resumida las ecuaciones antes mencionadas:

ECUACIÓN DE LA RECTA	FÓRMULA
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
Ecuación implícita
Ecuación explícita
Ecuación punto-pendiente
Ecuación canónica (o segmentaria)