7. Factorización

 Factorizamos cuando escribimos una expresión numérica o algebraica como una multiplicación.

Si la expresión es numérica, los factores suelen ser números primos, por ejemplo, la factorización de 385 es

385 = 7*5*11. 

Si la expresión es algebraica, la factorización son otras expresiones algebraicas más pequeñas, por ejemplo

x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Existen diferentes métodos para factorizar y no hay una regla específica que te diga cuál debes usar, por lo que se requiere práctica y experiencia. 

Factorización en números primos

¿En qué casos se usa? Cuando la expresión es numérica, es decir, no tiene variables.

¿Cómo se hace? Utiliza una tabla de números primos para identificar cuáles primos dividen a la expresión original. Un número primo es aquel que es divisible únicamente entre 1 y él mismo. Por ejemplo, el 2 es primo porque solamente se puede dividir entre 1 y 2.

Paso 1. Escribe tu expresión numérica y una línea vertical a su derecha.

Paso 2. Comienza con el primo más pequeño de la tabla (el 2) ¿este número divide a tu expresión original? Si la respuesta es sí, escríbele del lado derecho de la línea y pon el resultado de la división debajo de la expresión original.

Paso 3. Repite el procedimiento anterior para el resultado de la división. Si el primo que está evaluando no divide a la expresión, pasa al siguiente primo de la lista.

Paso 4. Repite el procedimiento hasta agotar a los posibles primos divisores.

La factorización será el producto de los números que anotaste a la derecha de la línea. En este caso, la factorización de 1540 es:

 

 

 

 

Factor común

¿En qué casos se usa? Usualmente en polinomios de 2 o más términos que comparten al menos una variable o un factor en los coeficientes.

¿Cómo se hace? Primero se determina cuál es el factor común entre los términos, luego se calculan los factores correspondientes y finalmente se reescribe la expresión.

Encontraremos el factor común del siguiente polinomio:

Paso 1. Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.

Paso 2. Conseguimos los factores comunes de las variables. Las variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.

Paso 3. Escribimos el factor común del polinomio como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:

Ahora podemos pasar a factorizar la expresión original.

Paso 4. Reescribimos cada término del polinomio en función del factor común. Para esto dividimos cada término entre el factor común para obtener un segundo factor.

Paso 5. Sustituimos cada término por el factor común y el segundo factor respectivo.

Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.

Paso 6. Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común.

Paso 7. Revisamos los pasos realizados y reescribimos la expresión factorizada.

Factorización binomial de un trinomio cuadrado

¿En qué casos se usa? Cuando tenemos un trinomio cuadrado de la forma x2 ± bx ± c y podemos encontrar factores de c cuya suma es b. Los signos ± indican que pueden ser positivos o negativos.

¿Cómo se hace? Se buscan dos números r y s, tales que x2 ± bx ±c = (x ± r)(x ± s)

Paso 1. Una vez ordenada la expresión se determina el valor de los coeficientes c y b con todo y su signo correspondiente.

Paso 2. Factorizar c en dos factores (¿Qué parejas de números tienen como producto c?)

En este caso, las parejas que factorizan c = -15 son (-15,1), (15,-1), (-5,3) y (5,-3)

Paso 3. De las parejas anteriores que factorizan c ¿alguna cumple que sumándolas (con su respectivo signo) el resultado sea el valor de b? En caso afirmativo, esos números formaran los factores y serán de la forma (x ± factor1) ((x ± factor2)

Suma de cada pareja:

• -15 + 1 = -14 ≠ b

• -1 + 15 = 14 ≠ b

• -5 + 3 = -2≠ b

• 5 - 3 = 2 = b que corresponde a la pareja (5,-3)

La expresión factorizada es:

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

¿En qué casos se usa? Cuando tenemos un trinomio cuadrado de la forma ax2 ± bx + c y se cumple que ax2 y c tienen raíces cuadradas exactas, tales que al multiplicar una por la otra y duplicar el resultado, se obtiene el término medio.

¿Cómo se hace? Primero se ordenan los términos para que queden en orden descendiente de grado, luego se calculan las raíces cuadradas del primer y tercer término, se verifica que dos por el producto éstas sea el segundo término. Para terminar se reescribe la expresión factorizada como ax2 ± bx + c = (√ (ax2) ± √ c )2 El signo del segundo término de la expresión del lado derecho debe ser igual al signo del término medio del lado izquierdo.

Paso 1. Ordenamos la expresión para que el grado de los términos vaya de mayor a menor.

Paso 2. Calculamos las raíces del primer y tercer término

Paso 3. Verificamos que el doble producto de las raíces anteriores sea igual al segundo término de la expresión

Paso 4. Escribimos la expresión factorizada. El signo del segundo término de la expresión ordenada, es decir b, determina el signo de del binomio que factoriza (están marcados en rojo).

 

Factorización de cuatro términos por agrupamiento

¿En qué casos se usa? En polinomios con cuatro términos en los que dos términos tienen una variable y los otros dos tienen otra en común, es decir, hay un total del 2 variables.

¿Cómo se hace? Se reordena el polinomio para que los términos con la misma variable queden juntos, y sobre ellos se usa la factorización por factor común. Sobre el resultado de esta primera factorización, se vuelve a aplicar la factorización por factor común.

Paso 1. Dado el polinomio

Reordenamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:

Paso 2. Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:

Paso 3. Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión y reescribimos.