9. ECUACIÓN Y ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA ELIPSE

 Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante:

A esa constante la llamamos 2ª

Consideremos que los focos son los puntos de coordenadas F1(-c, 0) y F2(c, 0) con c>0, y el punto medio entre los focos, se denomina centro C (0,0). En el siguiente esquema se pueden visualizar estos elementos:

Si la distancia entre los focos es d (F1, F2) = 2c, la condición para que sea una elipse es:

a>c>0

Si elevamos al cuadrado:

A la diferencia se le llama 

Es la ecuación canónica de la elipse con centro (0, 0) y eje focal y=0 (eje x)

Busquemos las intersecciones con los ejes:

Estos cuatro puntos se denominan vértices de la elipse.

• a se denomina semieje mayor
• b es el eje menor
• c es la semidistancia focal (distancia del centro al foco)
• 2c es la distancia entre dos focos
• Eje focal es la recta que pasa por los focos, en este caso el eje x

La gráfica representando todos estos elementos es la siguiente:

Observen que el centro es centro de simetría de la elipse

Si en la ecuación canónica anterior permutamos x por y (x) queda:

Es la ecuación canónica de la elipse con centro (0, 0) y eje focal x=0 eje y

En este caso las coordenadas de los vértices y focos son:

Su gráfica es:

Ejemplo:

Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular excentricidad de la siguiente elipse:

Resolución:

Calculemos los valores de a y b:

Entonces podemos dar las coordenadas de los vértices:

Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c:

Excentricidad de la elipse:

Y su gráfica queda:

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